DETERMINACIÓN DEL INVERSO DE UN PUNTO. Estudio de construcciones

Examen.

Das la vuelta al papel.

"Determine el inverso del punto P."

Tienes 10 minutos.

¡¡¿¿De qué me están hablando??!!

No te preocupes,
vamos a repasar los conceptos básicos.

Inversión:

La inversión es una transformación del punto A en A' con centro en I.

Estos tres puntos, I, A y A', están alineados.

El producto de IA x IA' = W es constante y se denomina: potencia de inversión.

¿Puede ocurrir que A = A'?

Si.

En este caso la potencia de inversión es IA x IA' = IA x IA = IA^2.

Todos los puntos que se encuentran en una circunferencia de inversión son dobles. El centro de esta circunferencia es el centro de inversión I y el radio, la raíz de la potencia, es decir, IA.

Si tenemos de dato I y AA' y se pide hallar el inverso de un punto P, P'. Existen diversas maneras de resolverlo, en Piziadas se proponen varias para un caso particular, los puntos I, A y P son vértices de un cuadrado. Aquí vamos a ver las siguientes para este caso:

Concepto de potencia

Como se nos define en Piziadas: la potencia de un punto respecto de una circunferencia, que definimos como la mayor por la menor distancia del punto a dicha circunferencia y que es igual al segmento de tangencia (desde el punto a la circunferencia) al cuadrado, nos permite resolver el problema anterior.

Determinamos una circunferencia en la que IA es el segmento de tangencia y debe pasar además por el punto P. Su centro estará en la intersección de la recta perpendicular a IA por A, con mediatriz PA.

Teorema de la altura

Para relacionar el teorema de la altura con la inversión relacionamos la altura del triángulo rectángulo que formarán IP y un punto doble de la circunferencia de autoinversión hallada con AA' con la potencia.

Por razones de notación de Geogebra P''=-P'.

Como veis no es tan complicado, si os queda alguna duda

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